Das Benfordsche Gesetz als Hilfsmittel für Prüfungsplanung und Kontrolle: eine Analyse der Ausgaben auf Gemeindeebene

Autor: Georgios Stefanou, M.Sc., Ph.D., Abteilungsleiter, ORKB Griechenland – Büro des Kommissars in der Präfektur Messinia

Zusammenfassung

Diese Studie präsentiert einen praktischen Anwendungsfall des Benfordschen Gesetzes auf die Ausgabendaten zweier griechischer Gemeinden, Messini und Trifylia. Dabei sollte bewertet werden, inwieweit diese Finanztransaktionen den erwarteten Ziffernverteilungen gemäß dem Benfordschen Gesetz entsprechen. Das primäre Ziel besteht darin, den Nutzen des Benfordschen Gesetzes als Hilfsmittel für Verfahren der staatlichen Finanzkontrolle zu bewerten und festzustellen, ob es Warnsignale aufzeigen kann, die dann weitere Nachforschungen veranlassen.

Wir wendeten Gauß- sowie Chi-Quadrat-Tests auf Verträge aus dem Jahr 2021 an, um die Übereinstimmung mit der Benfordschen Verteilung zu messen, sowohl in Bezug auf die erste als auch die zweite Ziffer. Statistisch signifikante Abweichungen von den erwarteten Ziffernhäufigkeiten wurden als Indikatoren für potenzielle Unregelmäßigkeiten behandelt, die weitere Prüfungshandlungen rechtfertigen.

Die Analyse ergab, dass das Benfordsche Gesetz ein wertvolles Hilfsmittel bei der ersten Beurteilung sein kann, um Anomalien aufzudecken. Verträge, die von den erwarteten Verteilungen abweichen, können als Grundlage für die Priorisierung von Prüfungen herangezogen werden. Die Ergebnisse zeigen, dass die Gemeinde Trifylia eine größere Übereinstimmung mit dem Benfordschen Gesetz aufwies, während bei der Gemeinde Messini häufigere und ausgeprägtere Abweichungen ersichtlich waren.

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1. Einleitung

Fortschritte im IT-Bereich führten zu einer deutlichen Erhöhung der Menge sowie Komplexität von Finanzdaten. In der modernen Prüfungspraxis werden zunehmend analytische Methoden eingesetzt, um Prüfungsverfahren zu optimieren und Anomalien sowie Unregelmäßigkeiten in Staatsausgaben besser aufdecken zu können. Wie Durtschi, Hillison und Pacini (2004) feststellten, führen diese Methoden zu einer Vereinfachung und Verbesserung der Prüfungsverfahren.

Diese Studie untersucht die Anwendung des Benfordschen Gesetzes als statistische Methode zur Aufdeckung von Unregelmäßigkeiten bei staatlichen Ausgaben, insbesondere anhand der Finanzdaten zweier Gemeinden. Die Untersuchung bewertet, ob die Ausgaben mit der nach dem Benfordschen Gesetz erwarteten Ziffernverteilung übereinstimmen, und geht den Auswirkungen der beobachteten Abweichungen nach.

Das Benfordsche Gesetz wurde bereits in zahlreichen Studien zur Betrugsaufdeckung in öffentlichen Haushalten angewendet, darunter in namhaften Arbeiten von Carslaw (1988), Nigrini (2005) und anderen. Die Bedeutung dieser Studie liegt in der praktischen Anwendung prädiktiver Unregelmäßigkeitsmodelle zur Beurteilung der Transparenz in der öffentlichen Verwaltung.

2. Das Benfordsche Gesetz und seine Relevanz für die staatliche Finanzkontrolle

Das Benfordsche Gesetz sagt die Häufigkeitsverteilung von Ziffern in natürlich vorkommenden Datensätzen voraus. Das von Simon Newcomb (1881) eingeführte und später von Frank Benford (1938) formalisierte Gesetz besagt, dass niedrigere Ziffern häufiger als führende Ziffern auftreten. Das Gesetz wurde bereits auf vielfältige Datensätze angewendet, zum Beispiel Finanztransaktionen, Flusslängen und Bevölkerungszahlen.

Im Bereich der staatlichen Finanzkontrolle zeigten Forscherinnen und Forscher (Durtschi et al., 2004; Arkan, 2010; Ardiansah & Sudarto, 2017), dass mit dem Benfordschen Gesetz Datenunregelmäßigkeiten ermittelt werden können, die weiteren Nachforschungen bedürfen. Es ist mittlerweile in Prüfungs-Softwaretools wie ACL und CaseWare eingebunden.

Die Anwendungsbereiche reichen von der IT-Datenintegrität (Debreceny & Gray, 2010) über die Betrugsaufdeckung in der nationalen Statistik (Holz, 2014) und die Umweltberichterstattung (Stoerk, 2016) bis hin zur Analyse von Wahlbetrug (Leeman & Bochsler, 2014). KPMG und andere globale Konzerne empfahlen, das Gesetz in forensischen Prüfungen anzuwenden (Pavlovic, 2019).

3. Forschungsmethode

3.1 Datenerhebung

Die Studie analysierte 129 Verträge der Gemeinde Messini und 230 der Gemeinde Trifylia, die alle von der elektronischen Beschaffungsplattform Griechenlands (Promitheas) bezogen wurden. Aus diesen Verträgen gehen im Jahr 2021 Ausgaben in Höhe von insgesamt etwa 3,73 Mio. EUR bzw. 10,22 Mio. EUR hervor.

3.2 Statistisches Modell

Wir verwendeten Gauß- sowie Chi-Quadrat-Tests, um Abweichungen von der erwarteten Benfordschen Verteilung zu messen, sowohl in Bezug auf die erste als auch die zweite Ziffer. Die Tests prüfen die Nullhypothese (H0: keine Unregelmäßigkeiten) gegen die Alternativhypothese (H1: potenzielle Unregelmäßigkeiten). Es wurde ein Signifikanzniveau von α = 0,05 angenommen.

Als Referenz dienten die Benfordschen Wahrscheinlichkeitsverteilungen für die Ziffernhäufigkeiten, und die kritischen Werte beruhten auf statistischen Standardtabellen (Z-kritisch = 1,96; Chi-Quadrat-kritische Werte = 15,507 für die erste Ziffer, 16,919 für die zweite Ziffer).

4. Ergebnisse und Diskussion

4.1 Gemeinde Messini

Es wurden signifikante Abweichungen bei den Ziffernhäufigkeiten beobachtet. Bei der ersten Ziffer (siehe Tabelle 1) überschritten die Werte 1, 2 und 9 den kritischen Z-Schwellenwert. Auch der Gesamt-Chi-Quadrat-Wert (22,250) lag über dem kritischen Grenzwert, was auf eine Ablehnung der Nullhypothese hindeutet. In Bezug auf die zweite Ziffer wurden bei den Werten 3 und 8 ähnliche Abweichungen festgestellt (siehe Tabelle 2).

Tabelle 1. Verteilung der ersten Ziffern der Ausgaben der Gemeinde Messini (2021).

1. Ziffer	Anzahl der Beobachtungen	Po	Pe	Po-Pe	Fo	Fe	Fo-Fe	Z	x^2	kritischer Chi-Quadrat-Wert
1	61	0,473	0,301	0,172	61	39	22	3,319	12,659
2	13	0,101	0,176	-0,075	13	23	-10	2,812	4,148
3	11	0,085	0,125	-0,040	11	16	-5	1,491	1,629
4	14	0,109	0,097	0,012	14	13	1	0,278	0,177
5	9	0,070	0,079	-0,009	9	10	-1	0,240	0,139
6	6	0,047	0,067	-0,020	6	9	-3	0,906	0,808
7	7	0,054	0,058	-0,004	7	7	0	-0,007	0,031
8	6	0,047	0,051	-0,004	6	7	-1	0,033	0,051
9	2	0,016	0,046	-0,030	2	6	-4	2,486	2,608
Summe	129	1	1	0	129	129	0	–	22,250	15,507

Tabelle 2. Verteilung der zweiten Ziffern der Ausgaben der Gemeinde Messini (2021).

2. Ziffer	Anzahl der Beobachtungen	Po	Pe	Po-Pe	Fo	Fe	Fo-Fe	Z	x^2	kritischer Chi-Quadrat-Wert
0	25	0,194	0,120	0,074	25	15	10	1,923	5,855
1	10	0,078	0,114	-0,036	10	15	-5	1,413	1,506
2	17	0,132	0,109	0,023	17	14	3	0,627	0,614
3	7	0,054	0,104	-0,050	7	13	-6	2,362	3,068
4	12	0,093	0,100	-0,007	12	13	-1	0,122	0,063
5	14	0,109	0,097	0,012	14	13	1	0,278	0,177
6	8	0,062	0,093	-0,031	8	12	-4	1,298	1,332
7	16	0,124	0,090	0,034	16	12	4	1,019	1,660
8	4	0,031	0,088	-0,057	4	11	-7	3,587	4,761
9	16	0,124	0,085	0,039	16	11	5	1,185	2,312
Summe	129	1	1	0	129	129	0		21,348	16,919

4.2 Gemeinde Trifylia

Die Daten wiesen weniger Abweichungen auf. Lediglich der Wert 2 bei der ersten Ziffer (siehe Tabelle 3) sowie die Werte 4 und 9 bei der zweiten Ziffer (siehe Tabelle 4) überschritten den kritischen Z-Schwellenwert. Jedoch überschritt das Gesamt-Chi-Quadrat-Ergebnis für die erste Ziffer (11,657) den kritischen Wert nicht, was auf eine allgemeine Übereinstimmung mit dem Benfordschen Gesetz hindeutet.

Tabelle 3. Verteilung der ersten Ziffern der Ausgaben der Gemeinde Trifylia (2021).

1. Ziffer	Anzahl der Beobachtungen	Po	Pe	Po-Pe	Fo	Fe	Fo-Fe	Z	x^2	kritischer Chi-Quadrat-Wert
1	83	0,361	0,301	0,060	83	69	14	1,742	2,739
2	30	0,130	0,176	-0,046	30	40	-10	2,007	2,713
3	21	0,091	0,125	-0,034	21	29	-8	1,691	2,089
4	22	0,096	0,097	-0,001	22	22	0	-0,043	0,004
5	23	0,100	0,079	0,021	23	18	5	0,941	1,284
6	12	0,052	0,067	-0,015	12	15	-3	0,870	0,755
7	17	0,074	0,058	0,016	17	13	4	0,790	1,004
8	14	0,061	0,051	0,010	14	12	2	0,486	0,439
9	8	0,035	0,046	-0,011	8	11	-3	0,753	0,629
Summe	230	1	1	0	230	230	0		11,657	15,507

Tabelle 4. Verteilung der zweiten Ziffern der Ausgaben der Gemeinde Trifylia (2021).

2. Ziffer	Anzahl der Beobachtungen	Po	Pe	Po-Pe	Fo	Fe	Fo-Fe	Z	x^2	kritischer Chi-Quadrat-Wert
0	34	0,148	0,120	0,028	34	28	6	1,079	1,484
1	30	0,130	0,114	0,016	30	26	4	0,636	0,545
2	20	0,087	0,109	-0,022	20	25	-5	1,083	1,025
3	26	0,113	0,104	0,009	26	24	2	0,327	0,181
4	15	0,065	0,100	-0,035	15	23	-8	2,041	2,783
5	15	0,065	0,097	-0,032	15	22	-7	1,850	2,395
6	20	0,087	0,093	-0,006	20	21	-1	0,209	0,090
7	19	0,083	0,090	-0,007	19	21	-2	0,289	0,140
8	18	0,078	0,088	-0,010	18	20	-2	0,429	0,248
9	33	0,143	0,085	0,058	33	20	13	2,357	9,253
Summe	230	1	1	0	230	230	0		18,144	16,919

4.3 Zusammenfassender Vergleich

Die Gemeinde Messini wies an beiden Ziffernpositionen deutlichere und zahlreichere Abweichungen auf, was auf ein höheres Risiko für Unregelmäßigkeiten hindeutet. Etwa 74,10 % der Vertragssummen der Gemeinde Messini enthielten verdächtige Ziffern, verglichen mit 22,03 % bei der Gemeinde Trifylia (siehe Tabelle 5). Diese Ergebnisse sprechen für die Anwendung des Benfordschen Gesetzes bei der Priorisierung von Prüfungen und der Optimierung der Mittelzuweisung.

Tabelle 5. Vergebene Verträge, deren ersten Ziffern nicht mit dem Benfordschen Gesetz übereinstimmen

	Nicht-konforme Ziffern		Verträge (n)	Verträge (EUR)	% aller Verträge
Gemeinde Messini	1. Ziffer	1, 2 und 9	76	2.433.183,67 EUR	65,18
	2. Ziffer	3 und 8	11	333.030,90 EUR	8,92
Gemeinde Trifylia	1. Ziffer	2	30	782.085,53 EUR	7,65
	2. Ziffer	4 und 9	48	1.469.650,74 EUR	14,38

5. Fazit

Die Analyse bestätigt den Nutzen des Benfordschen Gesetzes als einleitendes Hilfsmittel bei Prüfungen öffentlicher Ausgaben. Die Gemeinde Messini wies eine größere Abweichung auf und könnte daher ein höheres Prüfungsrisiko darstellen. Anhand der festgestellten statistisch signifikanten Abweichungen, die auf potenzielle Unregelmäßigkeiten hindeuten, könnten staatliche Rechnungskontrollorganisationen Prüfungsfälle ermitteln. Das Benfordsche Gesetz ermöglicht eine datengestützte Priorisierung in der Prüfungsplanung, liefert Indikatoren für Transparenz und unterstützt strategische Entscheidungen.

Zukünftige Forschungsarbeiten könnten den Datensatz auf weitere Gemeinden ausweiten, um einen Transparenzindex zu erstellen, der die Einhaltung des Benfordschen Gesetzes als Kernvariable berücksichtigt.

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Quellenangaben

1. Benford, F. (1938). The Law of Anomalous Numbers. Proceedings of the American Philosophical Society.
2. Carslaw, C. (1988). Anomalies in Income Numbers: Evidence of Goal-Oriented Behavior. The Accounting Review.
3. Durtschi, C., Hillison, W., & Pacini, C. (2004). The Effective Use of Benford’s Law to Assist in Detecting Fraud in Accounting Data. Journal of Forensic Accounting.
4. Nigrini, M. (2011). Forensic Analytics: Methods and Techniques for Forensic Accounting Investigations. Wiley.
5. Pavlovic, V. (2019). Benford’s Law Analysis to Determine Audit Priorities. Case Study.
6. Sartori Cella, R., & Zanolla, E. (2018). Benford’s Law and Transparency: An Analysis of Municipal Expenditure. Brazilian Business Review.
7. Yudhistira, & Nengzih, N. (2021). Benford’s Law Analysis to Determine Audit Priorities. Saudi Journal of Economics and Finance.